دایره‌ی مور (دو بعدی)

دایره‌ی مور یه روش ترسیم گرافیکیه که باهاش میتونیم تنش‌های اصلی ( هم مقدار و هم راستاشون رو ) توی یه المان رو تعیین کنیم. اگر نمیدونید قراره چه کاری کنیم مشکلی نیست و برای شروع فقط کافیه که با مفهوم تنش آشنا باشید و مراحل بعدی رو با هم قدم به قدم پیش میریم 🙂

خب برای شروع بیاین اول یه تاریخچه‌ی کوتاه از قضیه داشته باشیم …

مبدع این دایره آقای کریستین مور بوده که یه مهندس عمران آلمانی بودن؛ تو ۱۶ سالگی در رشته‌ی مهندسی راه‌آهن وارد دانشگاه پلی‌تکنیک هانوفر میشن و بعد از فارغ‌التحصیلی هم در صنعت راه‌آهن فعالیت میکنن که خلاقیت‌های جالبی داشتن مخصوصا استفاده از خرپاهای فولادی برای اولین بار در پل.

ولی مهم‌ترین دستاورشون رو سال‌ها بعد یعنی در سال ۱۸۸۲ که در مقام استاد مهندسی مکانیک دانشگاه پلی‌تکنیک درسدن بودن، به‌دست آوردن : دایره‌ی مور!

این دایره، نتیجه‌ی پرورش تحقیقات کارل کولمن بود. روشی گرافیکی که میشد با ترسیمش تنش‌های اصلی در هر بعدی از المان رو بدست آورد و با مقایسه‌ی اون تنش با تنش مجاز اون ماده، قضاوت کرد که دچار گسیختگی میشه یا نه.

”یکی از ‌زیبا و باشکوه‌ترین ویژگی‌های جهان، نیروها هستن. حال اینکه اون‌ها مفید باشن یا مضر فقط به جهتشون بستگی داره “

– کریستین اوتو مور

تنش‌های اصلی (Principal Stresses)

اگر برش مقطع ما از المان به گونه‌ای باشه که فقط دارای تنش نرمال باشه و مقدار تنش برشی به صفر برسه، اون صفحه رو صفحه‌ی اصلی و تنش نرمالش رو تنش اصلی میخونیم. خب حالا کاربردش چیه؟ همیشه توی این صفحات مقدار تنش به بیشترین مقدار خودش میرسه و اینجوری میشه برای طراحی با مقدار تنش مجاز ماده بررسیش کرد. جلوتر میبینیم که چرا معمولا در زلزله، دیوارها دچار ترک‌هایی با زوایه‌ی ۴۵ درجه میشن ( اسپویلر : چون معمولا صفحه‌ی اصلی توی اون سازه‌ها توی زاویه‌ی ۴۵ درجه میفته و در اون صفحه ماکزیمم مقدار تنش برشی رو داریم و ….)

رسم دایره‌ی مور

اگر پاراگراف قبل رو به خوبی متوجه شدین باید بگم که تقریبا دیگه چیز خاصی برای یاد گرفتن نمونده (جز چندتا نکته‌ی ریز که آخر مقاله میگم براتون).

همین! ما توی دایره‌ی مور به دنبال پیدا کردن بیشترین مقدار تنش در المان هستیم… خیلی‌خب بریم پیداش کنیم 😀

برای شروع به شما یه المان مثل شکل بالا میدن که این المان ۴ صفحه داره… چپ – راست و بالا – پایین ( البته توجه بشه که در اصل هر المانی ۶ وجه یا صفحه داره که دو وجه دیگه جلو – عقب هستن ولی چون فعلا قراره دایره‌ی مور ۲ بعدی ترسیم کنیم پس کاری با اون‌ها نداریم)

که از این چهار صفحه هم، دوتاشون با دوتای مقابلشون تکراری هستن ( چون المان در تعادله) که در نهایت باعث میشه بتونیم المانمون رو به شکل زیر ساده کنیم :

حالا برای رسم دایره باید یه قرارداد ساده رو قبول کنیم :

کششی و ساعت‌گرد مثبت، فشاری و پادساعت‌گرد منفی

خب با فرض این قرارداد بیاین دو تا نقطه رسم کنیم، A و B

که x این دو نقطه میشه تنش نرمال صفحه‌شون و y شون هم میشه تنش برشی ( مثبت یا منفی بودن این مقادیر رو با فرض قرارداد بالا در نظر میگیریم )

حالا کافیه که این دو نقطه رو به هم وصل کنیم و اون رو وتر دایره‌مون در نظر بگیریم. بدیهیه که وسط این خط، مرکز دایره میشه و با کمک همین نکته‌ی ساده میشه تمام نقاط مورد نیازمون رو محاسبه کنیم.

برای پیدا کردن مرکز دایره‌‎ای که فقط مختصات دو سر وترش رو داریم، باید مولفه‌های افقی و عمودی رو جمع کنیم و ازشون میانگین بگیریم. نکته‌ای که هست اینه که اینجا مولفه‌های عمودی کمک چندانی به ما نمیکنن چون توی هر دایره‌ی موری، میانگین مولفه‌های عمودی میشه صفر ، به عبارت دیگه :

دایره‌ی مور همیشه توسط محورx که نمایانگر تنش نرمال‌‍ه، به دو قسمت مساوی تقسیم میشه

پس نتیجه میگیریم میانگین گرفتن از مولفه‌های عمودی اهمیتی نداره و از طرفی چون مرکز دایره میشه تنش متوسط در کل المان، میشه به جای مرکز دایره از لفظ تنش متوسط استفاده کنیم و اون رو اینجوری حساب کنیم :

حالا دو نقطه از دایره و مرکزش رو داریم. کاری که مونده پیدا کردن محل برخورد محیط دایره با محور تنش نرمال‌‍ه که برابر میشن با بیشترین و کمترین تنش‌هایی که در المان هست. برای این کار اول باید شعاع دایره رو بدست بیاریم و در نهایت شعاع رو از مرکز کم و اضافه کنیم که به ترتیب کمترین و بیشترین تنش رو بهمون میدن.

بدست آوردن شعاع دایره مور

برای این کار سه روش وجود داره که در اصل هر سه برپایه‌ی قضیه‌ی فیثاغورس هستن و مراحل رو با پارامتر حل کردن و به فرمول رسیدن… فقط تفاوتشون اینه که هرکدوم تا یه جایی مراحل رو پیش بردن و من اونی رو که ساده‌تر‌‍ه (مراحل بیشتری رو پیش برده) رو توضیح میدم : بدست آوردن فاصله‌ی دو نقطه با مختصات معیین

برای این کار کافیه مجذورِ مجموعِ مربعِ تفاضلِ مولفه‌ها رو بدست بیارین، یعنی :

که اگر به جای x و y از مرکز دایره و سیگما و تاو ( چیزهایی که برامون ملموس‌تر هستن و در صورت مسئله به صورت مستقیم داده میشن ) استفاده کنیم میرسیم به این فرمول آخر :

حالا که شعاع رو داریم کافیه برای به‌دست آوردن تنش نرمال ماکزیم و مینیموم به ترتیب اون رو به شعاع اضافه و ازش کم کنیم :

واسه‌ی تنش برشی هم داریم :

درنهایت نتیجه‌ی کارتون باید یه همچین چیزی بشه :

تو قسمت بعدی قراره ببینیم :

▣ چه رابطه‌ای بین چرخش المان و دایره‌ی مور متناظرش وجود داره؟

▣ دوایر مور خاصی که برای ترسمیشون نیازی به محاسبات نیست

▣ چندتا تکنیک کوچیک برای افزایش سرعت رسم دایره‌ی مور